Максимальное множество точек неопределенности

Пусть w = f (z) - произвольная комплекснозначная функция определенная в единичном круге А, который она отображает в комплексную плоскость.

Определение 1 [1], [2 с 67]: Пусть Л - простая кривая из единичного круга А, оканчивающаяся в точке Предельным множеством СЛ(/, eL^) функции f в точке епо кривой Л называется множество точек ff (Е С", для которых существует последовательность точек{гп} с Л,такая, что zn > eL®, и f(zn) -> а.
Т1-ЭОО

Определение 2 [1], [2, с 118]: Если в круге найдутся две непрерывные кривые Л2, оканчивающиеся в точке е1^, для которых
то точку е1^ называют точкой неопределенности функции /.

Теорема 1 [2, с 120].
Пусть f(z) - произвольная комплекснозначная функция в А. Множество точек неопределенности функции f(z) не более чем счетное.
В связи с этой теоремой максимальным множеством точек неопределённости логично определить счетное множество.
В работе найдены необходимые условия, при которых мероморфная функция имеет максимальное множество точек неопределённости, всюду плотное на заданной дуге единичной окружности.

Определение 3 [1], [2,с 14]: Для любой точки z0 из круга А предельное множество C(/,ZQ) функции f(z) в точке z0 есть множество всех точек а из С, таких, что существует последовательность {zn} Е Л\{г0},для которой выполняется :

Определение 4 [2, с 21]: Множеством повторяющихся значений R(f,Zo) функции f в точке zQ называется множество точек ffroft, таких, что существует последовательность z.n с Л \ {z0}, для которойiггцz.n = z0 и /(z„) = а для любого п.

Определение 5 [3]: Центральным предельным множеством функции f в точке z0 называется множество П (_f,z0) = ПЛ^ЛС/'ZQ), где Л это всевозможные кривые из круга, оканчивающиеся в точке z0.
Определение 6 [3]: Множество n(f,z0) равномерно ограничено от значений о> Е fl для почти всех z0eKK, если существует число Ь>0 такое, что для всех z$eK", кроме множества точек меры нуль, выполняется следующее : либо П (f, ) = 0 , либо П(/,z0) Ф 0 и тогда d (П (/, z0), ^ Ъ.

Теорема 2.
ПустьK={el,'rt Е - дуга единичной окружности, Е - счетное множество всюду
плотное на К и f(z) это мероморфная функция в D. Если существует значение £i> Е fl такое,
1) Для всюду плотного множества точек z0 Е К:
2) Множество точек z0 Е К, для которых Ы Е ПCf,z0)
нигде не плотно на дЛ;
3) Каждая дуга К содержит открытую поддугу, на которой IlC/^Zg) равномерно ограничено от значений со для почти каждого z0;
тогда множество точек неопределенности мероморфной функции Ф((ге совпадает с множеством E.

Список литературы
1. F. Bagemihl, Curvilinearclustersetsofarbitraryfunctions, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 41 (1955), 379-382.
2. Э. Коллингвуд, Л. Ловатер «Теория предельных множеств», Москва, 1971.
3. F. Bagemihl «Maximal sets of ambiguous points», Tohoku Math. Jorrn. 24 (1971), 469-472.

Е. Н. Ковалева