12.06.2019 15:24

Кривые третьего и четвертого порядка

Кривые третьего и четвертого порядка

В курсе высшей математики изучение раздела аналитической геометрии ограничивается рамками кривых второго порядка. У любознательного студента возникает вопрос: «Существуют ли кривые более высоких порядков, и если они существуют, то как они задаются и строятся?».

Среди множества кривых выделяются так называемые «замечательные» кривые. Замечательные кривые обладают целым рядом геометрических и механических свойств. С ними связываются в истории математики ряд важных теоретических открытий. Поэтому знакомство с отдельными кривыми и их свойствами вызывает особый интерес, развивает математическое мышление, устанавливает связь математической теории с практикой.

В своем исследовании мы рассмотрели замечательные кривые третьего и четверного порядков, их уравнения, описали их свойства и особенности формы.

Итак, кривые линии третьего порядка представляют собой геометрическое место точек, координаты которых в прямоугольной системе координат описываются алгебраическим уравнением третьей степени. Такие кривые могут иметь одну, две или три бесконечные ветви.

Среди кривых третьего порядка выделяют «Декартовый лист», «Циклоиду Диоклеса», «Локон Аньези» и другие.

Кривые линии четвертого порядка представляют собой геометрическое место точек, координаты которых в прямоугольной системе координат описываются алгебраическим уравнением четвертой степени.

Среди большого разнообразия кривых четвертого порядка существует ряд так называемых замечательных кривых, к которым относятся Лемниската Бернулли, Кардиоида, Овалы Кассини.

Многие кривые третьего и четвертого порядка удобно строить не в декартовой, а в полярной системе координат. В ней положение каждой точки на плоскости строго определяется также двумя координатами, но не длинами перпендикуляров (х,у), а (р,г), где r - длина радиус- вектора, р - угол наклона радиус-вектора к положительному направлению оси Ох
.
Несмотря на то, что указанные кривые имеют достаточно сложную форму, многие из них находят применение в технике. Так, например, лемниската используется в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса; это имеет место на железнодорожных линиях, в горной местности и на трамвайных путях. В форме кардиоиды делают эксцентрики. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колес. Так же кардиоида хорошо знакома конструкторам - она, как правило, возникает при возвратно-поступательных движениях стержней в двигателях.

При современном уровне прикладных программ построение и моделирование кривых становится осень удобным и быстрым. При работе над этой темой нами были выполнены построения вручную и в среде MathCAD. При выявлении свойств некоторых из указанных кривых были вычислены их площади и длины дуг с применением интегрального исчисления.

Глушкова Н.А.

Кривые третьего и четвертого порядка

Опубликовано 12.06.2019 15:24 | Просмотров: 141 | Блог » RSS


Рекомендуем: